Сферы

4 Сферы

Для описания сферически-симметричных систем удобно использовать сферичесую систему координат $(r, 𝜃, φ)$ , где $r$ – сферический радиус, $𝜃$ – полярный угол, $φ$ – азимутальный угол. В сферически-симметричных системах потенциал зависит только от радиуса $Φ = Φ (r)$ .

Уравнение Пуассона в сферических координатах

\nabla^{2} Φ = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial Φ}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} sin 𝜃} \frac{\partial}{\partial 𝜃} (sin 𝜃 \frac{\partial Φ}{\partial 𝜃}) + \frac{1}{r^{2} {sin}^{2} 𝜃} \frac{\partial^{2} F}{\partial φ^{2}} = 4 π G ρ

(4.1)

для сферически-симметричного потенциала превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение:

\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d Φ}{d r}) = 4 π G ρ .

(4.2)

Для заданного потенциала это уравнение сразу дает распределение плотности

ρ (r) = \frac{1}{4 π G} \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r} r^{2} \frac{d}{d r} Φ (r),

(4.3)

угловую частоту вращения частицы на круговой орбите

Ω^{2} = \frac{1}{r} \frac{d Φ}{d r}

(4.4)

и скорость вращения частицы на круговой орбите (кривую вращения):

v_{c} = r Ω (r) = (r \frac{d Φ}{d r})^{1 ∕ 2} .

(4.5)

4.1 Модели, заданные распределением плотности
4.2 Формула Эддингтона
4.3 Фазовые модели
  4.3.1 Политропные модели
  4.3.2 Изотермическая сфера
  4.3.3 Модель Кинга
  4.3.4 Анизотропные модели
4.4 Устойчивость изотропной сферы
4.5 Устойчивость анизотропной сферы
  4.5.1 Неустойчивость радиальных орбит
  4.5.2 Гравитационная конусная неустойчивость
4.6 Сравнение

N

-body моделирования с теоретическими расчетами неустойчивых мод
4.7 Задание для самостоятельной работы

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]