4.4 Устойчивость изотропной сферы

Доказательство устойчивости звездных сферических моделей тесно связано с устойчивостью газовых сферических моделей с баротропным уравнением состояния. Последние были хорошо изучены в теории колебаний звезд.

Исследование устойчивости сферических систем (звездных и газовых) проводят как обычно: на фоне сферически симметричного распределения вводят малые добавки в виде сферических гармоник ${\chi }_l^m\left(r\right)Y_l^m\left(𝜃,\phi \right)$. Оказывается, что свойства устойчивости не зависят от числа $m$, но зависят от числа $l$. В частности, если сферическая гармоника при малых амплитудах нарастает экспоненциально с инкрементом нарастания $\gamma$, то этот инкремент не зависит от $m$. Это свойство является следствием того, что имеется свобода выбора ориентации системы отсчета и как следствие – перемешивание гармоник с различным $m$ при повороте системы координат.

Среди различных $l$ выделяют отдельно случай $l=0$ – так называемые радиальные возмущения (малая добавка зависит только отрадиуса). Остальные гармоники ($l\ge 1$) называют нерадиальными.

Первый закон Антонова.

Звездная система с эргодической ФР $F=F\left(E\right)$, такой, что $F^{\prime }\left(E\right)<0$, является устойчивой, если баротропная газовая сфера с тем же самым равновесным распределением плотности является устойчивой.

Теорема Антонова.

Все малые нерадиальные колебания баротропной газовой сферы с плотностью $dp\left(\rho \right)∕d\rho >0$ являются устойчивыми.

Второй закон Антонова.

Все малые нерадиальные колебания звездной системы с эргодической ФР $F=F\left(E\right)$, такой, что $F^{\prime }\left(E\right)<0$, являются устойчивыми.

Теорема Доремуса-Файкса-Баумана.

Все малые радиальные колебания звездной системы с эргодической ФР $F=F\left(E\right)$, такой, что $F^{\prime }\left(E\right)<0$, являются устойчивыми.

Рассмотрим, что на самом деле означает условие $dF∕dE<0$.

В сферических системах потенциал всегда монотонно растет с радиусом, поэтому $d\rho \left(r\right)∕d\Phi \left(r\right)<0$ означает, что $d\rho \left(r\right)∕dr<0$, т.е. плотность падает с радиусом, что вполне естественно предполагать.

Условие в теореме Антонова означает, что квадрат скорости звука всегда положителен $v_s^2=dp\left(\rho \right)∕d\rho >0$.

Последние две теоремы означают, что почти все реалистичные сферические системы с эргодической ФР устойчивы. (В отличие от них, малые радиальные колебания баротропной газовой сферы не являются устойчивыми.)