Фазовые модели

4.3 Фазовые модели

Если ФР нормирована на единицу:

ν (\bar{x}, t) = \int f (\bar{x}, \bar{v}, t) d \vec{v}, \int ν d^{3} x = 1,

(4.37)

то из уравнения Пуассона получаем интегро-дифференциальное уравнение на потенциал. Для определенности положим $f = f (ℰ, L)$ . Тогда

\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r} r^{2} \frac{d}{d r} Φ = 4 π G ρ = 4 π G M \int d^{3} v f (\frac{v^{2}}{2} + Φ, | x \times v |),

(4.38)

где $M$ - - масса системы. При известном виде ФР это, вообще говоря, нелинейное дифференциальное уравнение относительно $Φ$ . Но при неизвестной $Φ$ заранее невозможно нормировать $f$ на единицу. Поэтому удобно отказаться от нормирования на единицу, а нормировать ее сразу на массу, т.е.

ρ = \int f d^{3} v .

(4.39)

4.3.1 Политропные модели

f (ℰ) = \{\begin{matrix} F ℰ^{n - 3 ∕ 2}, & ℰ > 0 \\ 0, & ℰ \leq 0 \end{matrix}

(4.40)

Интегрирование по скоростям дает

ρ = c_{n} Ψ^{n} (Ψ > 0) c_{n} = \frac{{(2 π)}^{3 ∕ 2} (n - \frac{3}{2})!}{n!} F,

(4.41)

где $z!$ от нецелых $z$ определяется через Гамма-функцию

(z - 1)! = Γ (z),

(4.42)

имеющую полюсы при целых неположительных $z$ ( $0, - 1, - 2 . . .$ ). Из условия $n - 3 ∕ 2 > - 1$ получим нижнюю границу для показателя политропы в политропных моделях:

n = \frac{1}{2} .

(4.43)

Однородная сфера соответствует $n = 0$ , но это значение не входит в допустимый диапазон. Поэтому аналога однородной модели несжимаемой жидкости с конечным радиусом и постоянной плотностью в виде эргодической звездной системы не существует.

Проведем теперь аналогию с газовой средой. Рассмотрим неподвижную газовую сферу ( $v = 0$ ) с уравнением состояния

p = K ρ^{γ} .

(4.44)

Из уравнения Эйлера в сфрических координатах можно получить уравнение гидростатического равновесия:

- \frac{d Φ}{d r} - \frac{1}{ρ} \frac{d p}{d r} = 0 .

(4.45)

Откуда имеем

\frac{d p}{d r} = K γ ρ^{γ - 1} \frac{d ρ}{d r} = - ρ \frac{d Φ}{d r} = ρ \frac{d Ψ}{d r} .

(4.46)

K γ ρ^{γ - 2} \frac{d ρ}{d r} = \frac{d Ψ}{d r}

(4.47)

или

Ψ = K γ \frac{ρ^{γ - 1}}{γ - 1} .

(4.48)

Сравним теперь (4.41) и выражение (4.48)

n = \frac{1}{γ - 1}, γ = 1 + \frac{1}{n}, {(\frac{γ - 1}{γ K})}^{\frac{1}{γ - 1}} = c_{n} .

(4.49)

Из полученного соответствия можно сделать несколько выводов:

Распределение плотности эргодической звездной системы с показателем $n$ совпадает с распределением плотности политропной газовой сферы с показателем адиабаты $γ = 1 + 1 ∕ n$ .
Газовая изотермическая сфера отвечает $γ = 1$ , а ее звездный аналог $n \to \infty$ .
Не существует звездных аналогов политропных газовых моделей с показателем адиабаты $γ \geq 3$ .

Найдем уравнение для определения $Ψ$ в политропных звездных моделях. Запишем уравнение Пуассона

\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r} r^{2} \frac{d}{d r} Ψ + 4 π G c_{n} Ψ^{n} = 0

(4.50)

в безразмерных переменных

s = \frac{r}{b}, ψ = \frac{Ψ}{Ψ_{0}}, b = {(\frac{4 π}{3} G Ψ_{0}^{n - 1} c_{n})}^{- 1 ∕ 2} .

(4.51)

Имеем уравнение Лэйна–Эмдена:

\frac{1}{s^{2}} \frac{d}{d s} s^{2} \frac{d}{d s} ψ = \{\begin{matrix} - 3 ψ^{n}, & ψ > 0 \\ 0, & ψ \leq 0 \end{matrix}

(4.52)

которое должно удовлетворять начальным условиям

ψ (0) = 1, ψ^{'} (0) = 0 .

(4.53)

Аналитические решения существуют при $n = 1$ и $n = 5$ . При $n = 5$ получается модель Пламмера:

ψ = \frac{1}{\sqrt{1 + s^{2}}} .

(4.54)

Численно можно получить свойства политропных моделей. В зависомости от показатель $n$ , модели могут обладать конечными или бесконечными массами и радиусами:

$n < 5$ – радиус и масса конечны;
$n = 5$ – масса конечна;
$n > 5$ – радиус и масса бесконечны.

4.3.2 Изотермическая сфера

Звездная изотермическая сфера аналогична газовой сфере с $γ = 1$ , т.е. пределу $n \to \infty$ . Ее можно получить предельным переходом в уравнении (4.52), но можно действовать и более простым способом. Запишем уравнение состояния

p = K ρ = \frac{k_{B} T}{m} ρ

(4.55)

( $m$ здесь – масса частицы газа, $k_{B}$ – постоянная Больцмана, $T$ – температура) и уравнение гидростатического равновесия:

\frac{d p}{d r} = \frac{k_{B} T}{m} \frac{d ρ}{d r} = - ρ \frac{d Φ}{d r} = - ρ \frac{G M (r)}{r^{2}} .

(4.56)

Домножим левую и правую стороны на $r^{2} m ∕ (ρ k_{B} T)$ в возьмем производную по $r$ :

\frac{d}{d r} r^{2} \frac{d ln ρ}{d r} = - \frac{G m}{k_{B} T} \frac{d M}{d r} = - \frac{G m}{k_{B} T} 4 π r^{2} ρ .

(4.57)

Примем теперь ФР в виде

f = \frac{ρ_{0}}{{(2 π σ^{2})}^{3 ∕ 2}} e^{ℰ ∕ σ^{2}}, ℰ = Ψ - \frac{v^{2}}{2}

(4.58)

После интегрирования по скоростям получим

ρ = \int f d^{3} v = ρ_{0} e^{Ψ ∕ σ^{2}}

(4.59)

Подставляя в (4.57)

\frac{d}{d r} r^{2} \frac{d ln ρ}{d r} = \frac{d}{d r} r^{2} \frac{d}{d r} \frac{Ψ}{σ^{2}} = - \frac{4 π G m}{k_{B} T} r^{2} ρ .

(4.60)

мы получили обычное уравнение Пуассона, если дисперсия скоростей удовлетворяет соотношению:

σ^{2} = \frac{k_{B} T}{m}

(4.61)

Таким обазом, газовая изотермическая самогравитирующая сфера имеет $Ψ$ и $ρ$ такие же, как у звездной системы с ФР (4.58) и $σ^{2}$ из (4.61).

Сделаем теперь подстановку $ρ = C r^{- b}$ . Из (4.60) имеем:

- b = - \frac{4 π G}{σ^{2}} C r^{2 - b} .

(4.62)

Левая часть не зависит от $r$ , поэтому чтобы равенство выполнялось для любых $r$ , нужно потребовать $b = 2$ и

C = \frac{σ^{2}}{2 π G} .

(4.63)

Окончательно получим зависимость плотности от радиуса в изотермической сфере:

ρ = \frac{σ^{2}}{2 π G r^{2}} .

(4.64)

Это решение называется сингулярная изотермическая сфера. У такой модели полная масса равна бесконечности. Относительный потенциал

ψ = σ^{2} ln \frac{ρ}{ρ_{0}} = σ^{2} ln \frac{σ^{2}}{2 π G r^{2} ρ_{0}}

(4.65)

может принимать как положительные, так и отрицательные значения, как и $ℰ$ . При любом знаке $ℰ$ функция распределения остается положительной.

4.3.3 Модель Кинга

При построения моделей сферических скоплений желательно иметь конечную массу и радиус, но при этом чтобы модель была похожа на изотермическую. Для этого можно воспользоваться изотермической моделью и задать некоторую минимально возможную энергию $ℰ_{0}$ и определить модель Кинга как

f_{K} = \{\begin{matrix} f_{I} (ℰ) - f_{I} (ℰ_{0}), & ℰ > ℰ_{0} \\ 0, & ℰ < ℰ_{0} \end{matrix}

(4.66)

Можно определить модели Кинга так:

f_{K} = \{\begin{matrix} \frac{ρ_{0}}{{(2 π σ^{2})}^{3 ∕ 2}} (e^{ℰ ∕ σ^{2}} - 1), & ℰ > 0 \\ 0, & ℰ < 0 \end{matrix}

(4.67)

4.3.4 Анизотропные модели

Если ФР зависит не только от энергии, но и от других интегралов движения, в которые различные компоненты скорости входят не через $v^{2}$ , то тензор дисперсии скоростей оказывается неизотропным. Примером такой ФР является

f (ℰ, L) = C L^{- s} f_{1} (ℰ),

(4.68)

в которой $L$ – модуль вектрора углового момента, $L^{2} = r^{2} (v_{𝜃}^{2} + v_{φ}^{2})$ , а $f_{1}$ – произвольная неотрицательная функция $ℰ$ . В случае, если $f_{1} = ℰ^{q}$ , то такие модели называются обобщенно-политропными. Особенность этих моделей состоит в том, что при $s > 0$ плотность в центре оказывается бесконечной (сингулярные модели; заметим, что при этом масса конечна). Как следствие, характерные частоты оказываются бесконечными.

Несингулярные политропные модели Наличие сингулярности в центре при $s > 0$ сильно усложняет исследование устойчивости, особенно в пределе чисто радиальных орбит. Для таких исследований оказались подходящими несингулярные политропные модели

\begin{align} F (E, L) \propto \frac{𝜃_{H} (L_{T} - L)}{L_{T}^{2}} {(- 2 E)}^{q} . & (4.69) \end{align}

В диапазоне изменения параметра $- 1 < q < 7 ∕ 2$ , при котором радиус и масса системы остаются конечными, в соответствие с политропными (изотропными) моделями, рассмотренными выше. В пределе $L_{T} \to 0$ несингулярные политропные модели переходят в чисто радиальные при $q < 1 ∕ 2$ , а при $q > 1 ∕ 2$ стягиваются в точку [Polyachenko E.V., Polyachenko V.L., Shukhman I.G. MNRAS, 434, 3208 (2013)].

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]