4.2 Формула Эддингтона

Для заданного сферически-симметричного потенциала (или плотности $\nu \left(r\right)$) можно попытаться найти соответствующую эргодическую ФР $f\left(E\right)$:

Если такая $f\left(E\right)$ существует, то она единственна. Но не для каждого распределения плотности можно найти $f\left(E\right)$.

Энергию частицы (которая в случае ограниченной системы всегда меньше нуля) и потенциал удобно заменить на относительныю энергию и потенциал. Относительный потенциал определяется следующим образом. Пусть $\Phi$ – обычный потенциал, как правило определенный так, что $\Phi \left(r\right)\to 0$ при $r\to \infty$, и $a$ – радиус системы (так что за пределы этого радиуса частицы не вылетают). Тогда относительный потенциал определяется как

Он оказывается положительно определенным, как и относительная энергия

Такое переобозначение естественно и удобно, поскольку функции распределения обращаются в нуль при $\mathcal{ℰ}<0$ (В разделе 3.1.1 мы ввели переменную $J$, аналогичную $2\mathcal{ℰ}$.) Итак,

или поскольку $2v^{2}dv=vd{v}^2=-2\sqrt{2\left(\Psi -\mathcal{ℰ}\right)}d\mathcal{ℰ}$, получим

Относительный потенциал $\Psi =\Psi \left(r\right)$ – монотонно убывающая функция радиуса. Поэтому можно обратить эту зависимость, т.е. получить $r=r\left(\Psi \right)$ и затем рассматривать $\Psi$ как новую независимую переменную (например $\nu =\nu \left(\Psi \right)$). Дифференцируя по $\Psi$, найдем

– уравнение Абеля, решение которого известно:

По определению $f$ – вероятность нахождения частицы в точке ($x,v$), т.е. $f\left(\mathcal{ℰ}\right)$ должна быть неотрицательной. Отсюда

должна быть неубывающей функцией. Очевидно, не для всякой $\nu$ это условие выполнено, поэтому не любая модель масс имеет эргодическую ФР. Для моделей Пламмера, изохронной, Hernquist, Jaffe аналитические выражения $f\left(\mathcal{ℰ}\right)$ известны.