4.1 Модели, заданные распределением плотности

Здесь даны широко известные и часто применяемые модели распределения масс (т.н. mass models). Их отличают от т.н. фазовых моделей (phase models), которые задаются с помощью ФР.

1. Кулоновский потенциал $$\begin{array}{lll}\hfill & \Phi \left(r\right)=-\frac{GM}{r},& \hfill \text{(4.6)}\\ \hfill & \rho \left(r\right)=M\delta \left(r\right),& \hfill \text{(4.7)}\\ \hfill & \Omega \left(r\right)={\left(\frac{GM}{r^3}\right)}^{1∕2},& \hfill \text{(4.8)}\\ \hfill & v_c\left(r\right)={\left(\frac{GM}{r}\right)}^{1∕2}.& \hfill \text{(4.9)}\end{array}$$
2. Модель Пламера $$\begin{array}{lll}\hfill & \Phi \left(r\right)=-\frac{GM}{\sqrt{r^2+b^2}},& \hfill \text{(4.10)}\\ \hfill & \rho \left(r\right)=\frac{{\rho }_0}{{\left(1+r^2∕b^2\right)}^{5∕2}},{\rho }_0=\frac{M}{\frac{4\pi }{3}{b}^3}& \hfill \text{(4.11)}\\ \hfill & \Omega \left(r\right)=\frac{{\left(GM\right)}^{1∕2}}{{\left(r^2+b^2\right)}^{3∕4}}.& \hfill \text{(4.12)}\end{array}$$
3. ‘Изохроный’ потенциал (назван так потому, что период радиальных колебаний частицы не зависит от ее углового момента, также как и в кеплеровском потенциале) $$\begin{array}{lll}\hfill & \Phi =-\frac{GM}{b+\sqrt{b^2+r^2}},& \hfill \text{(4.13)}\\ \hfill & \rho \left(r\right)=M\frac{3\left(a+b\right)a^2-r^2\left(b+3a\right)}{4\pi {\left(b+a\right)}^3{a}^3}\rho \left(0\right)=\frac{3M}{16\pi b^3},& \hfill \text{(4.14)}\\ \hfill & \rho {\left(r\right)}_{r\to \infty }=\frac{Mb}{2\pi r^4},& \hfill \text{(4.15)}\\ \hfill & \Omega \left(r\right)={\left[\frac{\left(GM\right)}{{\left(b+a\right)}^{2}a}\right]}^{1∕2},& \hfill \text{(4.16)}\\ \hfill & v_c={\left(\frac{GM}{a}\right)}^{1∕2}\frac{r}{\left(a+b\right)}.& \hfill \text{(4.17)}\end{array}$$
4. Степенные модели

   $$\rho \left(r\right)={\rho }_0{\left(\frac{r_0}{r}\right)}^{\alpha }$$

   (4.18)

   Масса оболочки с внутренним радиусом $r_i$, $r_o$

   $$M\left(r_i,r_o\right)=4\pi \underset{r_i}{\overset{r_o}{\int \; <!--nolimits-->}}\rho \left(r\right)r^{2}dr=4\pi {\rho }_0{r}_0^{\alpha }\underset{r_i}{\overset{r_o}{\int \; <!--nolimits-->}}{r}^{2-\alpha }dr=\frac{4\pi {\rho }_0{r}_0^{\alpha }}{3-\alpha }{r}^{3-\alpha }{|}_{r_i}^{r_o}.$$

   (4.19)

   Если $\alpha \le 3$ масса расходится на бесконечности, т.е. при $r_o\to \infty$, если $\alpha \ge 3$ масса расходится в нуле, т.е. при $r_i\to 0$.

   Пусть далее $\alpha <3$ и положим $r_i=0$, так что масса внутри сферы радиусом $r$ есть:

   $$M\left(r\right)=\frac{4\pi {\rho }_0{r}_0^{\alpha }}{3-\alpha }{r}^{3-\alpha },$$

   (4.20)

   тогда круговая скрость на радиусе $r$

   $$v_c^2=\frac{GM\left(r\right)}{r}=\frac{4\pi G{\rho }_0{r}_0^{\alpha }}{3-\alpha }{r}^{2-\alpha }.$$

   (4.21)

   Разность потенциалов между текущим радиусом и некоторым радиусом $r_0$:

   $$\Phi \left(r\right)-\Phi \left(r_0\right)=G\int \; <!--nolimits-->d{r}^{\prime }\frac{M\left(r^{\prime }\right)}{{r{}^{\prime }}^2}=G\frac{4\pi {\rho }_0{r}_0^{\alpha }}{3-\alpha }{\int \; <!--nolimits-->}_{r_0}^r{r}^{1-\alpha }dr=\left\{\begin{array}{cc}\frac{v_c^2\left(r_0\right)-v_c^2\left(r\right)}{\alpha -2},\hfill & \alpha \ne 2\hfill \\ v_c^{2}lnr∕r_0,\hfill & \alpha =2\hfill \\ \hfill \end{array}\right.$$

   (4.22)

   Частный случай $\alpha =2$ – плоская кривая вращения (постоянная $v_c$). Соответствующий ей потенциал

   $$\Phi \left(r\right)=const+v_c^{2}lnr,$$

   (4.23)

   и плотность

   $$\rho \propto r^{-2}$$

   (4.24)

   – т.н. сингулярная изотермическая сфера.

5. Двойные степенные модели

   $$\rho ={\rho }_0{\left(r∕a\right)}^{-\alpha }{\left(1+r∕a\right)}^{\alpha -\beta }.$$

   (4.25)

   Частные случаи:

   • Модель Хернквиста (Hernquist): $\alpha =1$, $\beta =4$

     $$M\left(r\right)=\frac{{\left(r∕a\right)}^2}{2{\left(1+r∕a\right)}^2}4\pi {\rho }_0{a}^3,\Phi \left(r\right)=-4\pi G{\rho }_0{a}^2\frac{1}{2\left(1+r∕a\right)}$$

     (4.26)

   • Модель Яффе (Jaffe): $\alpha =2$, $\beta =4$

     $$M\left(r\right)=\frac{\left(r∕a\right)}{\left(1+r∕a\right)}4\pi {\rho }_0{a}^3,\Phi \left(r\right)=-4\pi G{\rho }_0{a}^{2}ln\left(1+r∕a\right)$$

     (4.27)

   • Модель Наварро–Френка–Уайта (NFW): $\alpha =1$, $\beta =3$

     $$M\left(r\right)=4\pi {\rho }_0{a}^3\left[ln\left(1+r∕a\right)-\frac{r∕a}{1+r∕a}\right],\Phi \left(r\right)=-4\pi G{\rho }_0{a}^2\frac{ln\left(1+r∕a\right)}{r∕a}$$

     (4.28)