Звездная среда

2.3 Звездная среда

Рассмотрим равновесное состояние бесконечной однородной звездной среды, заданное максвелловской ФР

f_{0} (v) = \frac{ρ_{0}}{{(2 π σ^{2})}^{3 ∕ 2}} e^{- v^{2} ∕ (2 σ^{2})},

(2.23)

где $v^{2} = v^{2}$ , $σ$ – дисперсия скоростей, одинаковая во всех направлениях. По аналогии с газовой средой определим джинсовское волновое число, заменив скорость звука на $σ$ :

k_{J}^{2} = \frac{4 π G ρ_{0}}{σ^{2}} .

(2.24)

Пока это просто обозначение для $k_{J}$ ; его роль будет видна в дальнейшем. Запишем линеаризованное бесстолкновительное уравнение Больцмана, используя трюк Джинса ( $Φ_{0} = 0$ ).

\frac{\partial f_{1}}{\partial t} + v \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial x} - \frac{\partial Φ_{1}}{\partial x} \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial v} = 0, \nabla^{2} Φ_{1} = 4 π G \int d^{3} v f_{1}

(2.25)

Умножая это уравнение на $exp (- i k \cdot x)$ , интегрируя по пространственным координатам $d^{3} x$ и используя теорему Гаусса (предполагая, что $f_{1}$ обращается в нуль на бесконечности), получим

\frac{\partial \bar{f_{1}}}{\partial t} + i k \cdot v \bar{f_{1}} = i {\bar{Φ}}_{1} k \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial v},

(2.26)

- k^{2} {\bar{Φ}}_{1} = 4 π G \int d^{3} v {\bar{f}}_{1} = 4 π G {\bar{ρ}}_{1} .

(2.27)

Так как при $t \to - \infty$ возмущение отсутствует, интегрирование (2.26) дает:

{\bar{f}}_{1} (k, v, t) = i k \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial v} \int_{- \infty}^{t} d t^{'} e^{i k \cdot v (t^{'} - t)} {\bar{Φ}}_{1} (k, t^{'}) .

(2.28)

Интегрируя последнее по пространству скоростей и заменяя ${\bar{Φ}}_{1}$ на плотность ${\bar{ρ}}_{1}$ (с помощью уравнения Пуассона), получим

{\bar{ρ}}_{1} (k, t) = - \frac{4 π G i}{k^{2}} \int d^{3} v k \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial v} \int_{- \infty}^{t} d t^{'} e^{i k \cdot v (t^{'} - t)} {\bar{ρ}}_{1} (k, t^{'}),

(2.29)

или в виде свертки

{\bar{ρ}}_{1} (k, t) = \int_{- \infty}^{\infty} \bar{P} (k, t - t^{'}) {\bar{ρ}}_{1} (k, t^{'})

(2.30)

с функцией

\bar{P} (k, τ) = - \frac{4 i π G}{k^{2}} 𝜃_{H} (τ) \int d^{3} v k \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial v} e^{- i k \cdot v τ},

(2.31)

где $𝜃_{H} (τ)$ – функция Хевисайда. В частности, для максвелловской ФР

\bar{P} (k, τ) = 4 π G ρ_{0} τ 𝜃_{H} (τ) e^{- {(k σ τ)}^{2} ∕ 2} .

(2.32)

Преобразование Фурье функции $\bar{P} (k, τ)$ общего вида (2.31) дает

\tilde{\bar{P}} (k, ω) = - \frac{4 π G}{k^{2}} \int \frac{d^{3} v}{k \cdot v - ω} k \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial v}, I m (ω) > 0 .

(2.33)

По теореме о свертке для (2.30) имеем

{\tilde{\bar{ρ}}}_{1} (k, ω) = \tilde{\bar{P}} (k, ω) {\tilde{\bar{ρ}}}_{1} (k, ω),

(2.34)

откуда получаем дисперсионное уравнение:

\tilde{\bar{P}} (k, ω) = 1 .

(2.35)

ДУ можно проанализировать, взяв максвелловскую ФР и выбрав удобным способом систему координат. Введем декартовы координаты так, чтобы первая ось координат была параллельна $k$ и проинтегрируем ФР по $v_{2}, v_{3}$ :

F_{0} (v_{1}) = \int d v_{2} d v_{3} f_{0} (v)

(2.36)

Тогда $\tilde{\bar{P}} (k, ω)$ можно записать в виде:

\tilde{\bar{P}} (k, ω) = - \frac{4 π G}{k^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{F_{0}^{'} (x ∕ k)}{x - ω}, I m ω > 0 .

(2.37)

Интеграл сходится, т.к. $I m ω > 0$ , а интегрирование ведется по действительной оси $x = k v_{1}$ .

Функция $\tilde{\bar{P}} (k, ω)$ может быть аналитически продолжена в область $I m ω \leq 0$ деформацией контура интегрирования, который должен проходить ниже полюса подынтегральной функции, см. Рис.4, т.е. переменная интегрирования $x$ принимает комплексные значения.

a) b) c)

Рис. 4: Контур Ландау

ℒ

при различных положениях

ω

на комплексной плоскости: a)

I m ω > 0

; b)

I m ω = 0

(обход особенности снизу); c)

I m ω < 0

(деформация контура с обходом особенности снизу).

Для произвольных $ω$ функцию $\tilde{\bar{P}} (k, ω)$ можно записать в виде

\tilde{\bar{P}} (k, ω) = - \frac{4 π G}{k^{2}} \int_{ℒ} d x \frac{F_{0}^{'} (x ∕ k)}{x - ω}

(2.38)

где интегрирование ведется по контуру Ландау $ℒ$ . Используя теорему о вычетах, запишем

\int_{ℒ} d x \frac{F_{0}^{'} (x ∕ k)}{x - ω} = \{\begin{matrix} \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{F_{0}^{'} (x ∕ k)}{x - ω} & I m ω > 0 \\ v . p . \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{F_{0}^{'} (x ∕ k)}{x - ω} + π i F_{0}^{'} (ω ∕ k) & I m ω = 0 \\ \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{F_{0}^{'} (x ∕ k)}{x - ω} + 2 π i F_{0}^{'} (ω ∕ k) & I m ω < 0 \end{matrix}

(2.39)

где v.p. означает взятие интеграла в смысле главного значения.

Для максвелловской ФР

F_{0} (v_{1}) = \frac{ρ_{0}}{\sqrt{2 π σ^{2}}} e^{- v_{1}^{2} ∕ (2 σ^{2})}

(2.40)

поэтому

\int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{F_{0}^{'} (x ∕ k)}{x - ω} = - \frac{ρ_{0}}{\sqrt{2 π} σ^{3} k} \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{x e^{- x^{2} ∕ (2 k^{2} σ^{2})}}{x - ω}

(2.41)

Обозначим через $Z (w)$ дисперсионную функцию плазмы (или функцию Крампа):

Z (w) = \frac{1}{\sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} d s \frac{e^{- s^{2}}}{s - w}, I m w > 0 .

(2.42)

Ее можно представить через функцию ошибок $e r f (z)$ :

Z (w) = i \sqrt{π} exp (- w^{2}) [1 + e r f (i w)]

(2.43)

причем это представление уже имеет правильное аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость $ω$ . Тогда $\tilde{\bar{P}} (k, ω)$ запишестся в виде:

\tilde{\bar{P}} (k, \sqrt{2} k σ w) = \frac{4 π G ρ_{0}}{k^{2} σ^{2}} [1 + w Z (w)]

(2.44)

откуда получаем дисперсионное уравнение:

\frac{k^{2}}{k_{J}^{2}} = 1 + w Z (w), w \equiv \frac{ω}{\sqrt{2} k σ}

(2.45)

Рассмотрим решения при различных $I m (ω)$ .

Неустойчивые решения ( $I m ω > 0$ )

Из (2.44) следует, что $I m [w Z (w)] = 0$ , т.е.

I m [w Z (w)] = \frac{I m w}{\sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} d s \frac{s e^{- s^{2}}}{| s - w |^{2}} = 0,

(2.46)

т.е. интеграл должен обращаться в нуль. Из соображений симметрии ясно, что $R e (ω) = 0$ , поэтому $ω = i γ$ , и

\frac{k^{2}}{k_{J}^{2}} = 1 - \frac{\sqrt{π} γ}{\sqrt{2} k σ} exp (\frac{γ^{2}}{2 k^{2} σ^{2}}) [1 - e r f (\frac{γ}{\sqrt{2} k σ})]

(2.47)

При $k = k_{J}$ инкремент нарастания $γ = 0$ , что оправдывает введение джинсовского волнового числа для звездной среды согласно (2.24): $k_{J}$ разграничивает устойчивые и неустойчивые типы решений.

Нейтральные колебания ( $I m ω = 0$ , $R e ω \neq 0$ )

Дисперсионная функция плазмы для действительных $R e ω$

Z (w) = \frac{1}{\sqrt{π}} v . p . \int_{- \infty}^{\infty} d s \frac{e^{- s^{2}}}{s - w} + i \sqrt{π} e^{- w^{2}} .

(2.48)

Интеграл в смысле главного значения – действителен, а мнимая часть содержится только в добавке от полувычета. Поэтому из $I m (w Z (w)) = 0$ следует $ω = 0$ . Т.е. решений, отвечающих нейтральным колебаниям, нет.

Поскольку неустойчивые решения есть при $k < k_{J}$ , а нейтральных колебаний нет, то все возмущения при $k > k_{J}$ должны затухать. Численное расчет показывает, что таких решений бесконечно много, см. Рис. 6.

Рис. 5: Решение дисперсионных уравнений для газа (2.17) и бесстолкновительной звездной среды (2.45).

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]