Газовая покоящаяся среда

2.1 Газовая покоящаяся среда

Исследование системы на неустойчивость, как правило, заключается в выводе и решении характеристического уравнения на частоту возмущений $ω$ . Форма этих уравнений различна и зависит от геометрии задачи и от физических характеристик среды. В случае, если характеристическое уравнение связывает частоту возмущений и волновой вектор $k$ , уравнение называется дисперсионным (ДУ).

Для получения ДУ газовой однородной среды запишем уравнения гидродинамики и уравнение Пуассона

\begin{align} \frac{\partial ρ (x, t)}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ v) = 0, & (2.1) \\ \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v = - \frac{1}{ρ} \nabla p - \nabla Φ, & (2.2) \\ \nabla^{2} Φ = 4 π G ρ . & (2.3) \end{align}

При баротропном уравнении состояния (1.21) можно ввести энтальпию

h = \int_{0}^{ρ_{s}} \frac{d p (ρ)}{ρ}

(2.4)

и переписать уравнение Эйлера в виде:

\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v = - \nabla (h + Φ) .

(2.5)

Запишем величины, характеризующие систему в виде суммы невозмущенного однородного состояния покоящейся среды и малого возмущения порядка $𝜖$ $(𝜖 ≪ 1)$ :

ρ (x, t) = ρ_{0} (x) + 𝜖 ρ_{1} (x, t), h (x, t) = h_{0} (x) + 𝜖 h_{1} (x, t), v (x, t) = v_{0} (x) + 𝜖 v_{1} (x, t), Φ (x, t) = Φ_{0} (x) + 𝜖 Φ_{1} (x, t) .

(2.6)

Линеаризация уравнений в первом порядке по $𝜖$ дает:

\begin{align} \frac{\partial ρ_{1}}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ_{0} v_{1}) + \nabla \cdot (ρ_{1} v_{0}) = 0, & (2.7) \\ \frac{\partial v_{1}}{\partial t} + (v_{0} \cdot \nabla) v_{1} + (v_{1} \cdot \nabla) v_{0} = - \nabla (h_{1} + Φ_{1}), & (2.8) \\ \nabla^{2} Φ_{1} = 4 π G ρ_{1}, & (2.9) \\ h_{1} = \frac{p_{1}}{ρ_{0}} = {(\frac{d p}{d ρ})}_{ρ_{0}} \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} = v_{s}^{2} \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} & (2.10) \end{align}

Используем полученные линеаризованные уравнения для описания возмущений равновесного состояния покоящейся однородной среды: $v_{0} = 0$ , $ρ_{0} = const$ :

\begin{align} \frac{\partial ρ_{1}}{\partial t} + ρ_{0} \nabla \cdot (v_{1}) = 0, & (2.11) \\ \frac{\partial v_{1}}{\partial t} = - \nabla (h_{1} + Φ_{1}), & (2.12) \\ \nabla^{2} Φ_{1} = 4 π G ρ_{1}, & (2.13) \\ h_{1} = v_{s}^{2} \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} & (2.14) \end{align}

Дифференцируя по времени первое уравнение, вычисляя дивергенцию от второго и используя остальные, получим:

\frac{\partial^{2} ρ_{1}}{\partial t^{2}} - v_{s}^{2} \nabla^{2} ρ_{1} - 4 π G ρ_{0} ρ_{1} = 0 .

(2.15)

Введем разложение возмущеннных функций по плоским волнам (фурье-разложение) и получим из (2.15):

\frac{\partial^{2} \bar{ρ_{1}} (k, t)}{\partial t^{2}} + v_{s}^{2} k^{2} \bar{ρ_{1}} (k, t) - 4 π G ρ_{0} \bar{ρ_{1}} (k, t) = 0 .

(2.16)

Полагая зависимость амплитуды возмущения от времени $\bar{ρ_{1}} (k, t) \propto exp (- i ω t)$ , получим искомое дисперсионное уравнение:

ω^{2} = v_{s}^{2} k^{2} - 4 π G ρ_{0} = v_{s}^{2} (k^{2} - k_{J}^{2}),

(2.17)

где величина $k_{J}$ – джинсовское волновое число:

k_{J}^{2} = \frac{4 π G ρ_{0}}{v_{s}^{2}} .

(2.18)

Соответствующая ей джинсовская длина волны:

λ_{J} = \frac{2 π}{k_{J}} = \sqrt{\frac{π}{G ρ_{0}}} v_{s} .

(2.19)

Модой называется возмущение, которое может поддерживаться самостоятельно, без внешних возмущений. В сплошной среде неустойчивыми оказываются возмущения с длиной волны $λ > λ_{J}$ (неустойчивые моды). Возмущения с масштабами $λ < λ_{J}$ представляют собой нейтральные колебания (нейтральные моды).

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]