2.2 «Трюк» Джинса

При выводе ДУ мы не рассмотрели выполнение уравнений гидродинамики и Пуассона в нулевом порядке по $𝜖$. Предположение о существовании бесконечной однородной среды означает и изотропию системы в каждой ее точке, т.е. одинаковость по всех направлениях. Но поскольку выделенного направления нет, то вектор $\nabla {\Phi }_0$ должен быть равен нулю во всех точках пространства. Из уравнения Пуассона $\Delta {\Phi }_0=4\pi G{\rho }_0$, мы немедленно получаем ${\rho }_0=0$.

В интересующем нас случае бесконечной однородной среды трудность преодолевается предположением, что уравнение Пуассона связывает лишь возмущенные потенциал и плотность, тогда как невозмущенный потенциал равен нулю. Эквивалентное предположение состоит в том, что имеется внешний источник гравитационного поля, не связанный с распределением изучаемой среды, который в точности компенсирует $\nabla {\Phi }_0$.

Еще один вариант – замена уравнения Пуассона на уравнение Гельмгольца:

которое в пределе $a\to 0$ переходит в уравнение Пуассона. Тогда

а условие

выполяется автоматически [Kiessling M.K.-H., Adv. Appl. Math., 31, 132 (2003)].