Затухание Ландау и фазовое перемешивание

2.4 Затухание Ландау и фазовое перемешивание

Затухающие моды обязаны наличию т.н. затуханию Ландау (ЗЛ), которое возникает из-за сингулярности под интегралом в выражении для $\tilde{\bar{P}} (k, ω)$ (2.33), когда $k \cdot v - ω$ обращается в нуль. Если скорость звезды такова, что $k \cdot v - ω = 0$ , то ее фаза относительно волны $(ω, k)$ постоянна:

x (t) = x_{0} + v t, ϕ = k \cdot x - ω t = k \cdot x_{0} + (k \cdot v - ω) t = const .

(2.49)

В системе имеется группа звезд, для которых фаза меняется медленно. Слегка отстающие звезды при взаимодействии с волной отнимают у нее энергию, а слегка опережающие – отдают. Общий эффект складывается из баланса отстающих и опережающих звезд, который определяется знаком производной ФР по скорости. Для ФР типа максвелловской эта производная отрицательна, что приводит к затуханию волны. Однако, например, в пучковых ФР может быть противоположная ситуация, когда затухание Ландау приводит к раскачке колебаний (обратное затухание Ландау).

Другим эффектом, способным вызвать затухание в бесстолкновительной среде, является фазовое перемешивание (ФП). Этот процесс – чисто кинематический. Он обязан наличию члена $v \partial f ∕ \partial x$ в уравнении Больцмана и отражает тот факт, что частицы на разных орбитах движутся с разной скоростью, вследствие чего возникающее возмущение начинает растягиваться в тонкую линию или спираль. Так, линеаризованная часть уравнения Больцмана

\frac{\partial {\bar{f}}_{1}}{\partial t} + i k \cdot v \frac{\partial {\bar{f}}_{1}}{\partial x} = 0

(2.50)

дает

{\bar{f}}_{1} \propto e^{- i k \cdot v t} .

(2.51)

Наблюдаемые величины, полученные усреднением по скоростям, будут уменьшаться с ростом $t$ .

Особенности затухания Ландау и фазового перемешивания:

ЗЛ является результатом коллективного взаимодействия частиц, в котором существенную роль играет самогравитация. ФП – кинематический процесс, имеющий место даже в системах без самогравитации.
При ФП амплитуда возмущений ФР не уменьшается, уменьшается амплитуда плотности из-за все более и более тугой закрутки в фазовом пространстве. ЗЛ уменьшает амплитуду возмущений ФР.
ФП приводит к распаду возмущений плотности, ЗЛ может приводить к их росту.
Закон распада плотности благодаря ФП зависит от начального состояния и невозмущенной ФР, ЗЛ происходит по экспоненциальному закону.

С современным взглядом на эти вопросы можно ознакомиться по работе C. Mouhot, C. Villani. On Landau damping [https://arxiv.org/abs/0904.2760].

Резюме

Джинсовское волновое число для звездной среды, введенное по аналогии с газом выражением (2.24), также определяет границу устойчивости: возмущения с длиной волны $λ > 2 π ∕ k_{J}$ являются неустойчивыми;
В отличие от осциллирующего характера колебаний газа при $λ < 2 π ∕ k_{J}$ , возмущения с такой длиной волны в бесстолкновительной среде быстро затухают. Заметим, что такое (диссипативное) поведение имеет место в системе, описываемой бесстолкновительным уравнением Больцмана, симметричным относительно изменения знака времени, без трения, вязкости и других диссипативных эффектов.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]