Уравнения для нахождения глобальных мод газовых дисков

5.8 Уравнения для нахождения глобальных мод газовых дисков

Теоретические исследования глобальных ветвей колебаний для газовых дисков проводятся с помощью численного решения уравнений (5.51), (5.52), (5.56), (5.57) и уравнение Пуассона. Для нахождения неустойчивых глобальных спиральных мод необходимо задать граничные условия. В центре диска ставится условие регулярности, которое для спирального узора с числом рукавов $m$ имеет вид: $Σ_{d 1} (R) \propto R^{m}$ . Отстающие спиральные рукава перераспределяют угловой момент из центра наружу. Это соответствует уходящей на бесконечной волне, или радиационному граничному условию.

5.8.1 Линейный матричный метод

Задачу нахождения собственных мод газового диска можно сформулировать в виде линейной задачи на собственные значения (см. http://arxiv.org/abs/1712.02972):

ω x = A x,

(5.78)

где $ω$ – собственная (комплексная) частота, $x$ – соотсветствующий собственный вектор, $A$ – некоторая матрица. Представим линеаризованные уравнения Эйлера в виде:

\begin{align} - i ω_{*} v_{R} - 2 Ω v_{𝜃} = - \frac{d}{d R} (Φ + h), & (5.79) \\ - i ω_{*} v_{𝜃} + \frac{κ^{2}}{2 Ω} v_{R} = - \frac{i m}{R} (Φ + h), & (5.80) \end{align}

где $ω_{*} \equiv ω - m Ω$ , $κ$ – эпициклическая частота, $h$ – возмущенная энтальпия:

h = c_{s}^{2} \frac{Σ}{Σ_{0}},

(5.81)

$c_{s}$ – скорость звука. Запишем также линеаризованное уравнение непрерывности,

- i ω_{*} Σ + \frac{1}{R} \frac{d}{d R} (R Σ_{0} v_{R}) + \frac{i m Σ_{0}}{R} v_{𝜃} = 0

(5.82)

и уравнение Пуассона,

Φ (R) = \int_{0}^{\infty} d R^{'} R^{'} G_{m} (R, R^{'}) Σ (R^{'}) \equiv Ĝ_{m} Σ,

(5.83)

где $Ĝ_{m}$ обозначает введенный нами оператор интегрирования возмущенной поверхностной плотности с функцией Грина,

G_{m} (R, R^{'}) = - G \int_{- π}^{π} d 𝜃 \frac{cos (m 𝜃)}{{[R^{2} + {R^{'}}^{2} - 2 R R^{'} cos 𝜃 + b^{2}]}^{1 ∕ 2}},

(5.84)

Подтавляя энтальпию и потенциал в линеаризованные гидродинамические уравнения (Эйлера и непрерывности), можно получить систему трех уравнений для трех неизвестных функций – компонент скорости и поверхностной плотности:

\begin{align} ω v_{R} & = m Ω v_{R} + 2 i Ω v_{𝜃} - i \frac{d}{d R} [Ĝ_{m} Σ + \frac{c_{s}^{2}}{Σ_{0}} Σ], & (5.85) \\ ω v_{𝜃} & = - i \frac{κ^{2}}{2 Ω} v_{R} + m Ω v_{𝜃} + \frac{m}{R} [Ĝ_{m} Σ + \frac{c_{s}^{2}}{Σ_{0}} Σ], & (5.86) \\ ω Σ & = - \frac{i}{R} \frac{d}{d R} (R Σ_{0} v_{R}) + \frac{m Σ_{0}}{R} v_{𝜃} + m Ω Σ . & (5.87) \end{align}

Для решения этой системы используется метод конечных элементов. Элементы в данном случает представляют собой отрезки по радиусу (не обязательно одинаковые), на которых определены базисные функции $ϕ_{j}$ (линейные, квадратичные, или более высокого порядка). Неизвестные функции представляются в виде разложения:

f (R) \approx \sum_{j = 0}^{N_{t}} F_{j} ϕ_{j},

(5.88)

Если обозначить коэффициенты разложения компонет скорости и поверхностной плотности через $U_{j}$ , $V_{j}$ , $S_{j}$ ( $j = 0, . . ., N_{t}$ ) и составить из них вектор $x$ :

x \equiv {[U_{0}, . . ., U_{N_{t}}, V_{0}, . . ., V_{N_{t}}, S_{0}, . . ., S_{N_{t}}]}^{T}

(5.89)

( $T$ обозначает транспонирование матрицы), то легко получить уравнение в виде (5.78). Так называемая слабая матричная форма получается путем домножения уравнений (5.85, 5.86) на $R μ ϕ_{k} (R)$ , а уравнения (5.87) – на $R ν ϕ_{k} (R)$ , $k = 0, . . ., N_{t}$ , и последующего интегрирования по радиусу. В левой части получим:

M x \equiv (\begin{matrix} {(μ R)}_{k j} & 0 & 0 \\ 0 & {(μ R)}_{k j} & 0 \\ 0 & 0 & {(ν R)}_{k j} \end{matrix}) x .

(5.90)

В правой части получим матрицу $L x$ ,

L \equiv (\begin{matrix} m {(R μ Ω)}_{k j} & 2 i {(R μ Ω)}_{k j} & - i P_{k j}^{'} \\ - i {(\frac{R μ κ^{2}}{2 Ω})}_{k j} & m {(R μ Ω)}_{k j} & m P_{k j} \\ - i D_{k j} & m {(ν)}_{k j} & m {(R ν Ω)}_{k j} \end{matrix}),

(5.91)

Выше ${(. . .)}_{k j}$ обозначают интегралы $\int d R (. . .) ϕ_{k} (R) ϕ_{j} (R)$ ,

P_{k j} = \int d R d R^{'} μ (R) ϕ_{k} (R) G_{m} (R, R^{'}) R^{'} Σ_{0} (R^{'}) ϕ_{j} (R^{'}) + \int d R μ (R) ϕ_{k} (R) c_{s}^{2} (R) ϕ_{j} (R),

(5.92)

P_{k j}^{'} = \int d R d R^{'} μ (R) ϕ_{k} (R) R \frac{d G_{m} (R, R^{'})}{d R} Σ_{0} (R^{'}) ϕ_{j} (R^{'}) + \int d R μ (R) ϕ_{k} (R) R \frac{d}{d R} [c_{s}^{2} (R) ϕ_{j} (R)],

(5.93)

D_{k j} = \int d R ν (R) \frac{ϕ_{k} (R)}{Σ_{0} (R)} \frac{d}{d R} [R Σ_{0} (R) ϕ_{j} (R)] .

(5.94)

Ранг матриц $M$ и $L$ равен $3 N_{t}$ . Нужная нам форма (5.78) получается, если положить $A \equiv M^{- 1} L$ .

Общая проблема с матричными методами состоит в отсутсвии возможности наложения специфических граничных условий, как, например, радиационных. Это приводит к тому, что в получаемых спектрах присутствуют гладкие моды, отвечающие разным граничным условиям. Их можно отделять друг от друга путем вариации внешней границы и изучения собственных функций.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]