Матричные уравнения для нахождения глобальных мод звездных дисков

5.9 Матричные уравнения для нахождения глобальных мод звездных дисков

Теоретические исследования глобальных колебаний звездных дисков проводятся с помощью матричных методов (Калнайс 1977, Поляченко 2005). Матричные методы позволяют находить собственные моды интегрируемых звездных систем, т.е. таких, в которых гамильтониан звезды можно представить в виде зависимости только от переменных действия:

H = H_{0} (I) .

(5.95)

Линеаризованное бесстолкновительное уравнение Больцмана в переменных угол-действие имеет вид:

\frac{\partial f_{1}}{\partial t} + \sum_{i} Ω_{i} \frac{\partial f_{1}}{\partial w_{i}} = \sum_{i} \frac{\partial f_{0}}{\partial I_{i}} \frac{\partial Φ_{1}}{\partial w_{i}}, Ω_{i} \equiv \frac{\partial H_{0}}{\partial I_{i}} .

(5.96)

Подставляя зависимость возмущенных величин в виде $f_{1} = {\tilde{f}}_{1} (x, ω) e^{- i ω t}$ , $Φ_{1} = {\tilde{Φ}}_{1} (x, ω) e^{- i ω t}$ , где

{\tilde{Φ}}_{1} (x, ω) = \sum_{m} {\tilde{\bar{Φ}}}_{m} (I, ω) e^{i m \cdot w}, {\tilde{\bar{Φ}}}_{m} (I, ω) = \frac{1}{{(2 π)}^{3}} \int {\tilde{Φ}}_{1} (x, ω) e^{- i m \cdot w} d^{3} w

(5.97)

{\tilde{f}}_{1} (x, ω) = \sum_{m} {\tilde{\bar{f}}}_{m} (I, ω) e^{i m \cdot w}, {\tilde{\bar{f}}}_{m} (I, ω) = \frac{1}{{(2 π)}^{3}} \int {\tilde{f}}_{1} (x, ω) e^{- i m \cdot w} d^{3} w

(5.98)

( $m \equiv (m_{1}, m_{2}, m_{3})$ – целочисленный вектор), получим одно из уравнений, связывающий возмущение функции распределения и потенциала:

- (ω - m \cdot Ω) {\tilde{\bar{f}}}_{m} = (m \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial I}) {\tilde{\bar{Φ}}}_{m} .

(5.99)

5.9.1 Матричный метод Калнайса

Калнайс (1971, 1977) сформулировал нелинейный матричный метод в общем виде и в специальном случае бесконечно тонкого диска. Для сферических систем это было сделано в работе Поляченко и Шухмана (1981). Рассмотрим метод в общем случае.

Одним из способов решения уравнения Пуассона является использование биортонормальных базисных функций $Φ_{α} (x)$ , $ρ_{α} (x)$ , которые удовлетворяют следующим уравнениям:

\begin{align} Δ Φ_{α} = 4 π G ρ_{α} (x), & (5.100) \\ - & \int d^{3} x Φ_{α}^{*} (x) ρ_{β} (x) = δ_{α β} . & (5.101) \end{align}

Разложим плотность по базисным функциям $ρ_{α} (x)$ :

{\tilde{ρ}}_{1} (x, ω) = \sum_{β} d_{β} (ω) ρ_{β}

(5.102)

и пользуясь соотношением ортогональности запишем:

\int d^{3} x Φ_{α}^{*} (x) {\tilde{ρ}}_{1} (x, ω) = - d_{α} .

(5.103)

Теперь в выражение для плотности через ФР подставим (5.99):

{\tilde{ρ}}_{1} (x, ω) = \int d^{3} v {\tilde{f}}_{1} (x, ω) = \sum_{m} \int d^{3} v {\tilde{\bar{f}}}_{m} (I, ω) e^{i m \cdot w} = \sum_{m} \int d^{3} v \frac{(m \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial I})}{m \cdot Ω - ω} {\tilde{\bar{Φ}}}_{m} e^{i m \cdot w}

(5.104)

и далее – в (5.103):

\sum_{m} \int d^{3} x d^{3} v Φ_{α}^{*} (x) \frac{(m \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial I}) {\tilde{\bar{Φ}}}_{m}}{m \cdot Ω - ω} e^{i m \cdot w} = - d_{α} .

(5.105)

Поскольку $d^{3} x d^{3} v = d^{3} I d^{3} w$

{(2 π)}^{3} \sum_{m} \int d^{3} x d^{3} v Φ_{α}^{*} (x) \frac{(m \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial I}) {\tilde{\bar{Φ}}}_{m}}{m \cdot Ω - ω} e^{i m \cdot w} = - d_{α},

(5.106)

где

{\tilde{\bar{Φ}}}_{m} (I, ω) = \frac{1}{{(2 π)}^{3}} \int {\tilde{Φ}}_{1} (x, ω) e^{- i m \cdot w} d^{3} w = \frac{1}{{(2 π)}^{3}} \int \sum_{β} g_{β} (ω) Φ_{β} (x) e^{- i m \cdot w} d^{3} w = \sum_{β} g_{β} (ω) Φ_{β m} (I) .

(5.107)

Поэтому имеем:

{(2 π)}^{3} \int d^{3} I \sum_{β, m} Φ_{α m}^{*} (I) Φ_{β m} (I) \frac{(m \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial I})}{m \cdot Ω - ω} g_{β} (ω) = - d_{α} (ω) .

(5.108)

Из требования самосогласования

Δ Φ_{1} = 4 π G ρ_{1}

(5.109)

следует

\sum_{β} Δ Φ_{β} = 4 π G \sum_{β} g_{β} ρ_{β} = 4 π G \sum_{α} d_{α} ρ_{α},

(5.110)

или $d_{α} = g_{α}$ . Тогда матричное уравнение записывается в виде

\sum_{β} M_{α β} d_{β} = - d_{α},

(5.111)

где

M_{α β} \equiv {(2 π)}^{3} \int d^{3} I \sum_{β, m} Φ_{α m}^{*} (I) Φ_{β m} (I) \frac{(m \cdot \frac{\partial f_{0}}{\partial I})}{m \cdot Ω - ω},

(5.112)

а условие существования нетривиальных решений уравнения (5.111):

det (δ_{α β} + M_{α β}) = 0 .

(5.113)

Решая данное характеристическое уравнение, можно получить собственные частоты $ω$ и собственные функции возмущений звездной системы.

5.9.2 Линейный матричный метод

Линейный матричный метод был сформулирован Поляченко (2005) в общем виде и для дисковых систем, а для сфер – в работе Поляченко и др. (2007). Его особенностью является представление задачи в виде линейной задачи на собственные значения:

A x = ω x .

(5.114)

Из уравнения Пуассона имеем:

{\tilde{Φ}}_{1} (x, ω) = - G \int d^{3} x \frac{{\tilde{ρ}}_{1} (x, ω)}{| x - x^{'} |} = - G \int d^{3} x d^{3} v \frac{{\tilde{f}}_{1} (x, v, ω)}{| x - x^{'} |} .

(5.115)

Далее используем разложение (5.97):

{(2 π)}^{3} {\tilde{\bar{Φ}}}_{m} (I, ω) = - G \int d^{3} w e^{- i m \cdot w} \int \frac{d^{3} I^{'} d^{3} w^{'}}{| x - x^{'} |} \sum_{m^{'}} {\tilde{\bar{f}}}_{m^{'}} (I^{'}) e^{i m^{'} \cdot w^{'}} = - G \sum_{m^{'}} \int d^{3} I^{'} Π_{m, m^{'}} (I, I^{'}) {\tilde{\bar{f}}}_{m^{'}} (I^{'})

(5.116)

где

Π_{m, m^{'}} (I, I^{'}) \equiv \int \frac{d^{3} w d^{3} w^{'}}{| x - x^{'} |} e^{i m^{'} \cdot w^{'} - i m \cdot w},

(5.117)

а координаты зависят от соответствующих переменных действия и углов: $x = x (I, w)$ , $x^{'} = x^{'} (I^{'}, w^{'})$ . Подставляя в уравнение (5.99), окончательно получим

ω {\tilde{\bar{f}}}_{m} (I) = m \cdot Ω {\tilde{\bar{f}}}_{m} (I) + \frac{G}{{(2 π)}^{3}} \int d^{3} I^{'} \sum_{m^{'}} Π_{m, m^{'}} (I, I^{'}) {\tilde{\bar{f}}}_{m^{'}} (I^{'}),

(5.118)

Это уравнение имеет искомый вид линейной задачи на собственные значения и поэтому может быть решено с помощью стандартных пакетов программ линейной алгебры.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]