Дисперсионное соотношение для газовых дисков (WKB)

5.5 Дисперсионное соотношение для газовых дисков (WKB)

Исследование гравитирующих дисков на предмет возможности существования в нем спиральной волны плотности представляет собой трехступенчатый процесс:

Вычисление потенциала от некоторого спирального узора;
Расчет влияния гравитационного потенциала на движение вещества и изменений, которые возникают в диске вследствие этого;
Согласование полученных изменений с формой спирального узора (из первого пункта).

Самосогласованные волны плотности малой амплитуды – это линейные моды галактического диска. В общем случае их можно найти с помощью различных матричных методов. Сила гравитационного взаимодействия – дальнодействующая, поэтому на возмущение орбит в какой-то части диска оказывает влияние весь диск. Оказывается, в случае тугой закрутки спиралей $k_{R} R ≫ 1$ (длина волны по радиусу гораздо меньше радиуса), вклад в потенциал определяется локально из-за компенсации вкладов удаленных участков и решение можно получить аналитически. Соответствующее приближение называется разными способами: приближение тугозакрученных спиралей, ВКБ-приближение (WKB — Wentzel–Kramers–Brillouin), коротковолновое. Они имеют незначительные отличия, но в основном имеется ввиду указанное выше неравенство. На Рис. 14 показаны характерные углы закрутки спиралений в спиральных галактиках различных хаббловских типов.

Рис. 15: Углы закрутки для спиральных галактик различных хаббловских типов [Ma 2002].

Оценим $k_{R} R$ для углов закрутки $α \sim 10 . . . 1 5^{\circ}$ . Пусть фаза волны определяется функцией $f (R, t)$ :

m 𝜃 + f (R, t) = const

(5.39)

Из простых геометрических соображений $ctg α = |R \frac{\partial 𝜃}{\partial R}|$ . Компоненты волнового вектора $(k_{R}, k_{𝜃}) = (\frac{2 π}{λ_{R}}, \frac{2 π}{λ_{𝜃}})$ , где $λ_{R}, λ_{𝜃}$ получаются из соотношений:

m λ_{𝜃} = 2 π R, f (R + λ_{R}, t) - f (R, t) = 2 π

(5.40)

При этом $k_{R}$ получается усредненным по радиусу. Лучше использовать локальное определение:

k_{R} \equiv \frac{\partial f (R, t)}{\partial R}, откуда | k_{R} R | = m ctg α = 7 . . . 11 .

(5.41)

для $m = 2$ ; фаза $f (R) = \int^{R} d R k (R)$ .

Предположения: диск нулевой толщины, “плоское” давление.

Уравнения Эйлера

\begin{align} \frac{\partial v_{R}}{\partial t} + v_{R} \frac{\partial v_{R}}{\partial R} + \frac{v_{𝜃}}{R} \frac{\partial v_{R}}{\partial 𝜃} - \frac{v_{𝜃}^{2}}{R} = - \frac{\partial Φ}{\partial R} - \frac{1}{Σ_{d}} \frac{\partial p}{\partial R} & (5.42) \\ \frac{\partial v_{𝜃}}{\partial t} + v_{R} \frac{\partial v_{𝜃}}{\partial R} + \frac{v_{𝜃}}{R} \frac{\partial v_{𝜃}}{\partial 𝜃} + \frac{v_{R} v_{𝜃}}{R} = - \frac{1}{R} \frac{\partial Φ}{\partial 𝜃} - \frac{1}{Σ_{d} R} \frac{\partial p}{\partial 𝜃} & (5.43) \end{align}

Примем баротропное уравнение состояния в виде $p = K Σ_{d}^{γ}$ . Для скорости звука имеем

v_{s}^{2} (Σ_{0}) = {(\frac{d p}{d Σ})}_{Σ_{0}} = γ K Σ_{0}^{γ - 1}

(5.44)

Упростим уравнения движения с помощью введения энтальпии $h (Σ) = \int d p ∕ Σ$ :

h = \frac{γ}{γ - 1} K Σ_{d}^{γ - 1}

(5.45)

Применим теорию возмущений для описания возмущений стационарного аксиально-симметричного диска. Невозмущенное состояние:

\frac{v_{𝜃 0}^{2}}{R} = \frac{d}{d R} (Φ_{0} + h_{0}) = \frac{d Φ_{0}}{d R} + v_{s}^{2} \frac{d}{d R} ln Σ

(5.46)

– центростремительное ускорение равно гравитационному притяжению и силе давления газа. Скорость звука газа в Галактике $v_{s} \approx 10$ км/с, тогда как круговая скорость вращения $v_{𝜃 0} \approx 220$ км/с, поэтому в балансе сил основную роль играет гравитация,

v_{𝜃 0} \approx \sqrt{R \frac{d Φ}{d R}} = R Ω (R)

(5.47)

Для волн малой амплитуды выпишем линеаризованные уравнения, подставляя

v_{R} = 𝜖 v_{R 1}, v_{𝜃} = v_{𝜃 0} + 𝜖 v_{𝜃 1}, h = h_{0} + 𝜖 h_{1}, Σ_{d} = Σ_{0} + 𝜖 Σ_{d 1}, Φ = Φ_{0} + 𝜖 Φ_{1}

(5.48)

\begin{align} \frac{\partial v_{R 1}}{\partial t} + Ω \frac{\partial v_{R 1}}{\partial 𝜃} - 2 Ω v_{𝜃 1} = - \frac{\partial}{\partial R} (Φ_{1} + h_{1}) & (5.49) \\ \frac{\partial v_{𝜃 1}}{\partial t} + [\frac{d (Ω R)}{d R} + Ω] v_{R 1} + Ω \frac{\partial v_{𝜃 1}}{\partial 𝜃} = - \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial 𝜃} (Φ_{1} + h_{1}) & (5.50) \end{align}

Рассмотрим возмущения в виде

m

-рукавной спиральной волны и подставим

f_{1} = f_{a} e^{i (m 𝜃 - ω t)}

в уравнения. Решим их относительно

v_{R a}

v_{𝜃 a}

\begin{align} v_{R a} (R) = \frac{i}{Δ} [(ω - m Ω) \frac{d}{d R} (Φ_{a} + h_{a}) - \frac{2 m Ω}{R} (Φ_{a} + h_{a})] & (5.51) \\ v_{𝜃 a} (R) = \frac{1}{Δ} [\frac{κ^{2}}{2 Ω} \frac{d}{d R} (Φ_{a} + h_{a}) - \frac{m (ω - m Ω)}{R} (Φ_{a} + h_{a})] & (5.52) \end{align}

где $Δ \equiv κ^{2} - {(ω - m Ω)}^{2}$ . При вещественных $ω$ имеются радиусы, на которых $Δ = 0$ – радиусы линдбладовских резонансов:

Ω_{p} = Ω \pm \frac{κ}{m}

(5.53)

Наличие сингулярности означает, что на этих резонансах возмущение может существовать без поддерживающей его силы.

Линеаризованное уравнение непрерывности

\frac{\partial Σ_{d 1}}{\partial t} + \nabla \cdot (Σ_{d 1} v_{0}) + \nabla \cdot (Σ_{0} v_{1}) = 0

(5.54)

в цилиндрических координатах имеет вид:

\begin{align} \frac{\partial Σ_{d 1}}{\partial t} + Ω \frac{\partial Σ_{d 1}}{\partial 𝜃} + \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial R} (R v_{R 1} Σ_{0}) + \frac{Σ_{0}}{R} \frac{\partial v_{𝜃 1}}{\partial 𝜃} = 0 & (5.55) \\ - i (ω - m Ω) Σ_{d a} + \frac{1}{R} \frac{d}{d R} (R v_{R a} Σ_{0}) + \frac{i m Σ_{0}}{R} v_{𝜃 a} = 0 & (5.56) \end{align}

Линеаризованное уравнение состояния:

h_{a} = γ K Σ_{0}^{γ - 2} Σ_{d a} = v_{s}^{2} \frac{Σ_{d a}}{Σ_{0}}

(5.57)

Используя полученные уравнения (5.51), (5.52), (5.56), (5.57) и уравнение Пуассона, можно получить связь амплитуд полной возмущенной плотности и той ее части, которая относится к диску

Σ_{d a} (R) = \int d R^{'} {\tilde{\bar{P}}}_{m} (R, R^{'}, ω) Σ_{a} (R^{'})

(5.58)

и численно найти частоты и формы возмущений, положив $Σ_{a} = Σ_{d a}$ .

Аналитическое решение можно найти в приближении тугозакрученных спиралей. Тогда возмущение потенциала (а также поверхностной плотности и энтальпии) можно записать в виде

Φ_{a} (R) = F (R) e^{i f (R)} = F (R) e^{i \int^{R} k d R}, | k R | ≫ 1

(5.59)

В этом приближении возмущенная часть потенциала определяется локальным изменением возмущенной плотности, т.к. из-за осцилляций возмущенной плотности вклады от далеких областей оказываются малы. Ситуация здесь аналогична задаче о возмущении в однородном плоском слое, где согласно (3.42) $Φ_{a}$ и $Σ_{a}$ связаны соотношением $Φ_{a} (R) = - 2 π G Σ_{a} ∕ | k |$ , которое выполняется с точностью $𝒪 (| k R |^{- 1})$ . С той же точностью можно пренебречь слагаемыми $\sim 1 ∕ R$ по сравнению с $\sim d ∕ d R$ . Поэтому в уравнениях нужно удержать только члены, содержащие производные по $R$ :

v_{R a} (R) = - \frac{(ω - m Ω)}{Δ} k (Φ_{a} + h_{a}), v_{𝜃 a} (R) = \frac{i k}{Δ} \frac{κ^{2}}{2 Ω} (Φ_{a} + h_{a})

(5.60)

- (ω - m Ω) Σ_{d a} + k Σ_{0} v_{R a} = 0

(5.61)

Полагая $Σ_{a} = Σ_{d a}$ , получим искомое ДС для газа

{(ω - m Ω)}^{2} = κ^{2} - 2 π G Σ_{0} | k | + v_{s}^{2} k^{2}

(5.62)

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]