5.6 Дисперсионное соотношение для звездных дисков (WKB)

Аналогично выводится ДС для звездного диска. Наиболее трудоемким является рассчет возмущенной величины v¯R1, вызванной возмущением потенциала. Для холодного звездного диска можно использовать выражение, полученное для газа, поскольку динамически холодные звездный и газовый диски эквивалентны:

v¯Ra(R) = (ω mΩ) Δ kΦa (5.63)

Это выражение справедливо для дисков, в которых типичные эпициклические движения имеют амплитуду намного меньше длины волны возмущений 2πk. В противном случае в данную точку приходят звезды от различных радиусов из области шириной в два радиуса эпицикла, вызывая ослабление отклика.

Учтем эффект ослабления введением редукционного фактора 1:

v¯Ra(R) = (ω mΩ) Δ kΦa (5.64)

Аналог уравнения непрерывности (5.61) для звезд:

(ω mΩ)Σda + kΣ0v¯Ra = 0 (5.65)

ДС для звездного диска

(ω mΩ)2 = κ2 2πGΣ 0|k| (5.66)

Редукционный фактор для Шварцшильдовской ФР (BT 2008, p. 830. Appendix K)

ω mΩ κ , σR2k2 κ2 (s,χ) = 2 χ(1 s2)eχ n=1 In(χ) 1 s2n2 (5.67)

где s – безразмерная частота возмущающей силы в системе отсчета, связанной со звездой, χ пропорционально квадрату отношения типичного эпициклического радиуса σRκ к длине спиральной волны λ.

Свойства (s,χ):

Учет конечной толщины диска

Для расчета редукционного фактора, учитывающего толщину диска, положим, что возмущение плотности равномерно распределено по толщине в слое |z| h:

ρ1 = Σ1 2hexp(ikr iωt). (5.68)

Тогда вклад вещества, находящегося на высоте z равен, в потенциал в экваториальной плоскости есть:

dΦ1 = ρ1dz2πG |k| exp(|kz|). (5.69)

Соответствующая радиальная сила в плоскости z = 0:

dFR = 2πisgnkρ1Gdzexp(|kz|). (5.70)

Интегрирование по слою дает:

hhdF R(z) = 20hdF R(z) = 4πisignkρ1G0hdzexp(|k|z) = 4πiρ 1G1 exp(|k|h) k = 4πiexp(ikriωt)Σ1 2hG1 exp(|k|h) k = 2πiΣ1Gexp(ikriωt)1 exp(|k|h) kh . (5.71)

Сравнение с диском нулевой толщины (h 0) показывает, что искомый редукционный фактор

I(k,h) 1 exp(|k|h) |k|h . (5.72)