Дисперсионное соотношение для звездных дисков (WKB)

5.6 Дисперсионное соотношение для звездных дисков (WKB)

Аналогично выводится ДС для звездного диска. Наиболее трудоемким является рассчет возмущенной величины ${\bar{v}}_{R 1}$ , вызванной возмущением потенциала. Для холодного звездного диска можно использовать выражение, полученное для газа, поскольку динамически холодные звездный и газовый диски эквивалентны:

{\bar{v}}_{R a} (R) = - \frac{(ω - m Ω)}{Δ} k Φ_{a}

(5.63)

Это выражение справедливо для дисков, в которых типичные эпициклические движения имеют амплитуду намного меньше длины волны возмущений $2 π ∕ k$ . В противном случае в данную точку приходят звезды от различных радиусов из области шириной в два радиуса эпицикла, вызывая ослабление отклика.

Учтем эффект ослабления введением редукционного фактора $ℱ \leq 1$ :

{\bar{v}}_{R a} (R) = - \frac{(ω - m Ω)}{Δ} k Φ_{a} ℱ

(5.64)

Аналог уравнения непрерывности (5.61) для звезд:

- (ω - m Ω) Σ_{d a} + k Σ_{0} {\bar{v}}_{R a} = 0

(5.65)

ДС для звездного диска

{(ω - m Ω)}^{2} = κ^{2} - 2 π G Σ_{0} | k | ℱ

(5.66)

Редукционный фактор для Шварцшильдовской ФР (BT 2008, p. 830. Appendix K)

ℱ (\frac{ω - m Ω}{κ}, \frac{σ_{R}^{2} k^{2}}{κ^{2}}) \equiv ℱ (s, χ) = \frac{2}{χ} (1 - s^{2}) e^{- χ} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{I_{n} (χ)}{1 - s^{2} ∕ n^{2}}

(5.67)

где $s$ – безразмерная частота возмущающей силы в системе отсчета, связанной со звездой, $χ$ пропорционально квадрату отношения типичного эпициклического радиуса $σ_{R} ∕ κ$ к длине спиральной волны $λ$ .

Свойства $ℱ (s, χ)$ :

$ℱ (s, 0) = 1$
$ℱ (s, χ) ≪ 1$ для $χ ≫ 1$
$ℱ (0, χ) = \frac{2}{χ} e^{- χ} \sum_{n = 1}^{\infty} I_{n} (χ) = \frac{1}{χ} [1 - e^{- χ} I_{0} (χ)]$

Учет конечной толщины диска

Для расчета редукционного фактора, учитывающего толщину диска, положим, что возмущение плотности равномерно распределено по толщине в слое $| z | \leq h$ :

ρ_{1} = \frac{Σ_{1}}{2 h} exp (i k r - i ω t) .

(5.68)

Тогда вклад вещества, находящегося на высоте $z$ равен, в потенциал в экваториальной плоскости есть:

d Φ_{1} = - ρ_{1} d z \frac{2 π G}{| k |} exp (- | k z |) .

(5.69)

Соответствующая радиальная сила в плоскости $z = 0$ :

d F_{R} = - 2 π i sgn k ρ_{1} G d z exp (- | k z |) .

(5.70)

Интегрирование по слою дает:

\int_{- h}^{h} d F_{R} (z) = 2 \int_{0}^{h} d F_{R} (z) = - 4 π i sign k ρ_{1} G \int_{0}^{h} d z exp (- | k | z) = - 4 π i ρ_{1} G \frac{1 - exp (- | k | h)}{k} = - 4 π i exp (i k r - i ω t) \frac{Σ_{1}}{2 h} G \frac{1 - exp (- | k | h)}{k} = - 2 π i Σ_{1} G exp (i k r - i ω t) \frac{1 - exp (- | k | h)}{k h} .

(5.71)

Сравнение с диском нулевой толщины ( $h \to 0$ ) показывает, что искомый редукционный фактор

I (k, h) \equiv \frac{1 - exp (- | k | h)}{| k | h} .

(5.72)

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]