Неустойчивость относительно длиноволновых колебаний

3.2 Неустойчивость относительно длиноволновых колебаний

Рассматриваемый предел длинноволновых колебаний отвечает случаю

λ ≫ c или k c ≪ 1 .

(3.32)

Это позволяет упростить задачу и считать слой бесконечно тонким. Будем характеризовать его невозмущенной поверхностной плотностью $Σ_{0}$ . ФР частиц по координатам и скоростям зависит лишь от координат $(x, y)$ и скоростей $(v_{x}, v_{y})$ и нормирована на поверхностную плотность. Более того, можно ограничиться рассмотрением зависимости ФР лишь от $x$ и $v_{x}$ , т.е.

Σ = \int f d v_{x}, Σ = Σ_{0} + {\bar{Σ}}_{1} (k) e^{i k x - i ω t}

(3.33)

которая удовлетворяет одномерному бесстолкновительному кинетическому уравнению

\frac{\partial f}{\partial t} + v_{x} \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial Φ}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial v_{x}} = 0 .

(3.34)

Линеаризация

f (x, v_{x}, t) = f_{0} (v_{x}) + 𝜖 {\bar{f}}_{1} (k, v_{x}) e^{i k x - i ω t}, Φ (x, z, t) = Φ_{0} (z) + 𝜖 {\bar{Φ}}_{1} (k, z) e^{i k x - i ω t}

(3.35)

дает в первом порядке по $𝜖$ (в нулевом порядке снова приходится использовать «трюк» Джинса):

{\bar{f}}_{1} = \frac{{\bar{Φ}}_{1}}{k v_{x} - ω} k \frac{\partial f_{0}}{\partial v_{x}}

(3.36)

откуда возмущение поверхностной плотности запишется в виде:

{\bar{Σ}}_{1} = k {\bar{Φ}}_{1} \int \frac{d v_{x}}{k v_{x} - ω} \frac{\partial f_{0}}{\partial v_{x}},

(3.37)

причем интегрирование по действительной оси возможно только в случае $I m ω > 0$ (см. вывод ДУ для однородной бесстолкновительной среды).

Для получения ДУ нам необходимо еще одно соотношение между возмущением поверхностной плотности и потенциала, которое нужно получить из решения уравнения Пуассона. Подставляя

Φ_{1} = {\bar{Φ}}_{1} (z) e^{i k x}, Σ_{1} = {\bar{Σ}}_{1} e^{i k x},

(3.38)

получим

\frac{d^{2} {\bar{Φ}}_{1} (z)}{d z^{2}} - k^{2} {\bar{Φ}}_{1} = 4 π G {\bar{Σ}}_{1} δ (z),

(3.39)

где $δ (z)$ – дельта-функция Дирака. При $z \neq 0$

{\bar{Φ}}_{1} (z) = A e^{\pm k z} .

(3.40)

Для возмущенного потенциала мы получили два вида решений: растущее и убывающее при $| z | \to \infty$ . Нас интересует убывающее решение, т.е. ${\bar{Φ}}_{1} (z) = A e^{- | k z |}$ . Интегрирование уравнения (3.39) поперек слоя дает

- 2 A | k | = 4 π G Σ_{1}, A = - \frac{2 π G Σ_{1}}{| k |} .

(3.41)

Таким образом, мы получили выражение для возмущения потенциала простого слоя:

{\bar{Φ}}_{1} = - \frac{2 π G {\bar{Σ}}_{1}}{| k |} e^{- | k z |} .

(3.42)

Подставляя это выражение в (3.37), получим искомое дисперсионное уравнение для джинсовских колебаний в плоском слое:

- \frac{2 π G}{| k |} \int (k \frac{\partial f_{0}}{\partial v_{x}}) \frac{d v_{x}}{k v_{x} - ω} = 1 .

(3.43)

Для уравнения существенна только зависимость ФР от $v_{x}$ . Остальные компоненты скорости можно заинтегрировать. Обозначим оставшуюся компоненту через $v$ , и положим максвелловское распределение в виде

f_{0} = \frac{Σ_{0}}{{(2 π σ^{2})}^{1 ∕ 2}} e^{- \frac{v^{2}}{2 σ^{2}}} .

(3.44)

Введем джинсовское волновое число $k_{J}$ для плоского слоя:

k_{J} = \frac{2 π G Σ_{0}}{σ^{2}} .

(3.45)

Тогда уравнение (3.43) можно представить в виде, аналогичном дисперсионному уравнению для однородной среды:

\frac{| k |}{k_{J}} = 1 + w Z (w),

(3.46)

где $Z (w)$ – функция Крампа (2.42) или (2.43). Сходство полученного дисперсионного уравнения с ДУ для однородной среды (2.45) позволяет сделать вывод о качественном совпадении решений. Так, чисто мнимые решения $γ (k)$ ( $ω = i γ$ ) получаются из

\frac{| k |}{k_{J}} = 1 - \frac{\sqrt{π} γ}{\sqrt{2} k σ} exp (\frac{γ^{2}}{2 k^{2} σ^{2}}) [1 - e r f (\frac{γ}{\sqrt{2} k σ})]

(3.47)

В холодном пределе $σ \to 0$ правая часть стремится к $k^{2} σ^{2} ∕ γ^{2}$ , поэтому

γ^{2} = | k | σ^{2} k_{J} = 2 π G Σ_{0} | k |

(3.48)

или

γ = {(2 π G Σ_{0} | k |)}^{1 ∕ 2}

(3.49)

– инкремент нарастания джинсовской неустойчивости в плоском слое.

Рассмотрим полученный результат качественно. Джинсовская неустойчивость имеет инкремент порядка $γ \sim {(G ρ_{0})}^{1 ∕ 2}$ . Так как речь идет о неустойчивости при «поджатии» материи на масштабе $λ$ в плоскости, то $ρ_{0} \sim Σ_{0} ∕ λ \sim k Σ_{0}$ , или $γ \sim {(G Σ_{0} k)}^{1 ∕ 2}$ , что совпадает с полученным строгим результатом.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]