Фазовые модели

5.3 Фазовые модели

Большая часть звезд в спиральных галактиках находится в тонком диске. Поэтому модели дисков бесконечно малой толщины полезны в силу своей простоты и возможности применения к дискам реальных галактик в качестве некоторого приближения. ФР таких дисков можно получить из более общих ФР, зависящих от трех интегралов движения: $H, L_{z}, I_{3}$ , где $I_{3} = 0$ , что означает отсутствие движения поперек плоскости галактики, так что система оказывается плоской. При сведении ФР к плоской можно опустить зависимость от $I_{3}$ и писать просто $f (H, L_{z})$ . Рассмотрим две наиболее известных ФР.

5.3.1 Модель Тоомре

Для поверхностной плотности

Σ (R) = Σ_{0} \frac{R_{0}}{R}

(5.25)

кривая вращения оказывается плоской, т.е.

v_{c}^{2} = - R \frac{d Ψ}{d R} = 2 π G Σ_{0} R_{0} .

(5.26)

Диск с такой зависимость поверхностной плотности от радиуса называется диском Местеля.

Если определить потенциал так, что $Ψ (R_{0}) = 0$ , то

Ψ (R) = - v_{c}^{2} ln \frac{R}{R_{0}} .

(5.27)

Рассмотрим ФР вида

f (ℰ, L_{z}) = \{\begin{matrix} F {(L_{z} ∕ R_{0} v_{c})}^{q} exp (ℰ ∕ σ^{2}) & L_{z} > 0, \\ 0 & L_{z} \leq 0 \end{matrix}

(5.28)

где $F$ , $q$ и $σ$ – постоянные. Поверхностная плотность дается выражением:

Σ^{'} (R) = 2^{q ∕ 2} \sqrt{π} (\frac{1}{2} q - \frac{1}{2})! (\frac{R σ}{R_{0} v_{c}})^{q} (\frac{R}{R_{0}})^{- v_{c}^{2} ∕ σ^{2}} F σ^{2} .

(5.29)

Сравнивая $Σ^{'}$ с (5.25) мы видим, что при

q = \frac{v_{c}^{2}}{σ^{2}} - 1, F = \frac{Σ_{0} v_{c}^{q}}{2^{q ∕ 2} \sqrt{π} (\frac{1}{2} q - \frac{1}{2})! σ^{q + 2}}

(5.30)

ФР (5.28) определяет самосогласованную модель диска Местеля. Радиальная дисперсия:

{\bar{v_{R}^{2}}}^{1 ∕ 2} = σ,

(5.31)

средняя азимутальная скорость:

\bar{v_{φ}} = \frac{\int d^{2} v v_{φ} f (ℰ, L_{z})}{\int d^{2} v f (ℰ, L_{z})} = \frac{\sqrt{2} (q ∕ 2)!}{(q ∕ 2 - 1 ∕ 2)!} σ .

(5.32)

В пределе больших $q$ величина $\bar{v_{φ}} ∕ σ = \sqrt{q} [1 + 𝒪 (q^{- 1})]$ . Этот предел соответствует диску, в котором все звезды движутся по круговым орбитам, $\bar{v_{φ}} = v_{c}$ .

5.3.2 Диск Калнайса

Аналитическая модель Калнайса с ФР

f (ℰ, L_{z}) = \{\begin{matrix} F {[(Ω_{0}^{2} - Ω^{2}) a^{2} + 2 (ℰ + Ω L_{z})]}^{- 1 ∕ 2} & [. . .] > 0, \\ 0 & [. . .] \leq 0 \end{matrix}

(5.33)

определяет самосогласованную модель с поверхностной плотностью и потенциалом

Σ (R) = Σ_{c} \sqrt{1 - \frac{R^{2}}{a^{2}}}, Ψ (R) = - \frac{1}{2} Ω_{0}^{2} R^{2} .

(5.34)

Параметр $Ω$ определяет свойства модели, в частности, радиальную дисперсию скоростей.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]