Моментные уравнения

1.3 Моментные уравнения

ФР вида $f (x, v, t) = F (t) δ (v - v (x, t))$ соответствует гидродинамическому описанию системы. Бесстолкновительное кинетическое уравнение в этом случае приводит к уравнениям непрерывности (1.19) и Эйлера (1.20) с равным нулю давлением. Если вместо $δ$ -функции взять некоторое распределение с ненулевой дисперсией, то можно получить упрощенное описание кинетической системы через моменты ФР – среднюю скорость в точке и тензор дисперсии скоростей. Будем считать, что ФР нормирована на массу системы.

Средняя скорость частиц (звезд) в точке:

\bar{v} = \frac{1}{ρ} \int d^{3} v v f (x, v, t) .

(1.32)

Тензор дисперсии скоростей

\bar{σ_{i j}^{2}} = \frac{1}{ρ} \int d^{3} v (v_{i} - {\bar{v}}_{i}) (v_{j} - {\bar{v}}_{j}) f (x, v, t) = \bar{v_{i} v_{j}} - \bar{v_{i}} \bar{v_{j}}

(1.33)

– симметричный, поэтому существуют оси, в которох он диагонален.

Аналог уравнения непрерывности

Проинтегрируем бесстолкновительное уравнение Больцмана (1.23) по скоростям

\int d^{3} v |\frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x} + \dot{v} \frac{\partial f}{\partial v} = 0,

(1.34)

или

\frac{\partial}{\partial t} \int d^{3} v f (x, v, t) + \frac{\partial}{\partial x_{i}} \int d^{3} v v_{i} f (x, v, t) + \int d^{3} v \dot{v} \frac{\partial f}{\partial v} = 0 .

(1.35)

Последний член обращается в нуль

\int d^{3} v \dot{v} \frac{\partial f}{\partial v} = - \int d^{3} v \frac{\partial Φ}{\partial x_{i}} \frac{\partial f}{\partial v_{i}} = - \frac{\partial Φ}{\partial x_{i}} \int d^{3} v \frac{\partial f}{\partial v_{i}} = 0,

(1.36)

так как интеграл от градиента функции по объему равен интегралу от функции по поверхности, ограничивающей этот объем. Поскольку поверхность предполагается бесконечно удаленной и функция $f$ там равна нулю, то и интеграл равен нулю. В результате имеем аналог уравнения непрерывности:

\frac{\partial}{\partial t} ρ (x, t) + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ {\bar{v}}_{i}) = 0 .

(1.37)

Сравнение с уравнением непрерывности (1.19) показывает, что здесь роль $v (x, t)$ играет величина $\bar{v}$ - cредняя скорость частиц в точке.

Аналог уравнения Эйлера

Проинтегрируем бесстолкновительное уравнение Больцмана (1.23) по скоростям, предварительно его на компоненту скорости $v_{j}$ :

\int d^{3} v v_{j} |\frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x} + \dot{v} \frac{\partial f}{\partial v} = 0,

(1.38)

или

\frac{\partial}{\partial t} \int d^{3} v v_{j} f (x, v, t) + \frac{\partial}{\partial x_{i}} \int d^{3} v v_{j} v_{i} f (x, v, t) + \int d^{3} v v_{j} \dot{v} \frac{\partial f}{\partial v} = 0 .

(1.39)

Последний член в левой части не равен нулю:

\int d^{3} v v_{j} \dot{v} \frac{\partial f}{\partial v} = - \frac{\partial Φ}{\partial x_{i}} \int d^{3} v v_{j} \frac{\partial f}{\partial v_{i}} = \frac{\partial Φ}{\partial x_{j}} ρ (x, t)

(1.40)

Поэтому,

\frac{\partial}{\partial t} ({\bar{v}}_{j} ρ (x, t)) + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ {\bar{v}}_{i} {\bar{v}}_{j}) + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ σ_{i j}^{2}) + \frac{\partial Φ}{\partial x_{j}} ρ (x, t) = 0,

(1.41)

или

\frac{\partial}{\partial t} ({\bar{v}}_{j} ρ (x, t)) + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ {\bar{v}}_{i} {\bar{v}}_{j}) = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ σ_{i j}^{2}) - \frac{\partial Φ}{\partial x_{j}} ρ (x, t) .

(1.42)

Домножая аналог уравнения непрерывности (1.37) на $v_{j}$ , имеем:

{\bar{v}}_{j} \frac{\partial}{\partial t} ρ (x, t) + {\bar{v}}_{j} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ {\bar{v}}_{i}) = 0

(1.43)

Используя последние два уравнения и вычитая одно из другого, окончательно получим:

ρ \frac{\partial}{\partial t} {\bar{v}}_{j} + ρ {\bar{v}}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} {\bar{v}}_{j} = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ σ_{i j}^{2}) - ρ \frac{\partial Φ}{\partial x_{j}}

(1.44)

– аналог уравнения Эйлера, описывающее движение идеальной жидкости. В отличие от уравнения Эйлера, здесь фигурирует средняя скорость $\bar{v}$ в точке $x$ и анизотропный тензор дисперсии скоростей. Давлению $p$ здесь соответствует $ρ σ_{i j}^{2}$ . Принято говорить, что в бесстолкновительных системах имеет место «анизотропное давление». Для изотропных систем

σ_{i j}^{2} = σ^{2} δ_{i j}, σ^{2} = 𝜃, p = ρ 𝜃,

(1.45)

где $𝜃 \equiv k_{B} T$ – температура, которая в общем случае дается выражением

𝜃 \equiv \frac{1}{3 ρ} \int \sum_{i} {(v_{i} - {\bar{v}}_{i})}^{2} f d v .

(1.46)

Последнее выражение в (1.45) – уравнение состояния идеального газа.

Из уравнения Больцмана (1.23) с неравным нулю интегралом столкновений $C$ можно получить уравнение Навье-Стокса, описывающее движение вязкой жидкости. Решение ищется методом последовательных приближений, когда ФР представляется в виде произведения локального максвелловского распределения и $(1 + ϕ (x, v, t))$ , где функция $ϕ ≪ 1$ – малая поправка (метод Чэпмена-Энскога [4C]).

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]