Эпициклическое приближение

5.1 Эпициклическое приближение

Рассмотрим в первом приближении характер движения звезд по почти круговым орбитам.

Радиус круговой орбиты в экваториальной плоскости $R_{g}$ определяется минимумом эффективного потенциала $Φ_{eﬀ} = Φ (R, z) + L_{z}^{2} ∕ 2 R^{2}$ , т.е.

{\frac{\partial Φ (R, z)}{\partial R}|}_{(R_{g}, 0)} = \frac{L_{z}^{2}}{R_{g}^{3}} = Ω^{2} (R_{g}) R_{g} .

(5.2)

$Ω (R)$ – угловая частота вращения частицы на круговой орбите.

Пусть $x = R - R_{g}$ – отклонение радиуса звезды от радиуса круговой орбиты $R_{g}$ , отвечающей заданному значению углового момента $L_{z}$ ( $R_{g} = R_{g} (L_{z})$ ). Разложим эффективный потенциал $Φ_{eﬀ}$ в ряд Тейлора:

Φ_{eﬀ} (R_{g}, 0) + \frac{1}{2} (\frac{\partial^{2} Φ_{eﬀ} (R, z)}{\partial R^{2}})_{(R_{g}, 0)} x^{2} + \frac{1}{2} (\frac{\partial^{2} Φ_{eﬀ} (R, z)}{\partial z^{2}})_{(R_{g}, 0)} z^{2} + 𝒪 (x z^{2})

(5.3)

(член, пропорциональный $x z$ равен нулю ввиду предполагаемой симметрии потенциала относительно плоскости $z = 0$ ). Определим частоту радиальных (или эпициклических) колебаний:

κ^{2} (R_{g}) \equiv (\frac{\partial^{2} Φ_{eﬀ} (R, z)}{\partial R^{2}})_{(R_{g}, 0)})_{(R_{g}, 0)},

(5.4)

где

κ^{2} = (4 Ω^{2} + R \frac{d Ω^{2}}{d R})_{R = R_{g}} .

(5.5)

Частота вертикальных колебаний, соответственно, есть:

ν^{2} (R_{g}) = (\frac{\partial^{2} Φ_{eﬀ} (R, z)}{\partial z^{2}})_{(R_{g}, 0)} .

(5.6)

Звезды совершают гармонические колебания:

ẍ = - κ^{2} x, \ddot{z} = - ν^{2} z

(5.7)

В центре галактики угловая частота вращения $Ω$ примерно постоянна (твердотельное вращение), поэтому $κ ≃ 2 Ω$ . Далее $Ω$ убывает, но обычно не быстрее, чем в кеплеровском потенциале ( $Ω \propto R^{- 3 ∕ 2}$ ), который дает $κ = Ω$ . Поэтому

Ω ≲ κ ≲ 2 Ω

(5.8)

В окрестности Солнца, согласно наблюдениям $κ ∕ Ω = 1.35 \pm 0.05$

Уравнение (5.7) для движения перпендикулярно плоскости справедливо для достаточно малых $z$ , при которых $ρ = const$ , т.е. для $z ≪ 300$ пк. Однако, поскольку большинство звезд поднимается над экваториальной плоскостью выше 300 пк, эпициклическое приближение неприменимо к движению поперек диска галактики.

Рассмотрим движение звезд параллельно экваториальной плоскости. Примем решение уравнения (5.7) в виде $x = X cos (κ t + α)$ . Тогда для движения по азимуту имеем:

\dot{φ} = \frac{L_{z}}{R^{2}} = \frac{L_{z}}{R_{g}^{2}} (1 + \frac{x}{R_{g}})^{- 2} ≃ Ω_{g} (1 - \frac{2 x}{R_{g}})

(5.9)

Интегрирование по времени дает

φ = φ_{0} + Ω (R_{g}) t - γ \frac{X}{R_{g}} sin (κ t + α), γ \equiv \frac{2 Ω}{κ}

(5.10)

Траектория движение звезды представляет собой эллипс с полуосями $(X, Y)$ , центр которого вращается по окружности радиусом $R_{g}$ с угловой частотой $Ω (R_{g})$ . Соотношение полуосей эллипса $Y ∕ X = γ \geq 1$ . Вращение звезды по эллипсу происходит в сторону, противоположную движению звезды вокруг центра.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]