1.1 Принятые обозначения

A. Постоянные, координаты, переменные

B. Полезные функции

Функция ошибок

Функция ошибок (функция Лапласа или интеграл вероятности)

Дополнительная функция ошибок

Дельта-функция Дирака

Дельта-функция Дирака $\delta \left(x\right)$ определяется как функционал, т.е. функция, заданная на пространстве функций. Для $f\in C$ (пространство непрерывных функций на вещественной оси) значение этого функционала равно $f\left(0\right)$:

Дельта функцию можно определить как предел некоторых распределений при $\sigma \to 0$:

• Максвелла

  $$\frac{1}{{\left(\pi {\sigma }^2\right)}^{1∕2}}{e}^{-x^2∕{\sigma }^2}$$

  (1.4)

• Лоренца

  $$\frac{\sigma }{\pi }\frac{1}{x^2+{\sigma }^2}$$

  (1.5)

и др.

Функция Хевисайда

Функция Хевисайда (Heaviside function, step function) ${𝜃}_{\mathrm{\text{H}}}\left(x\right)$ равна 1 при $x>0$ и нулю при $x<0$, т.е.

Производная от функции Хевисайда есть дельта-функция, т.е. ${𝜃}_{\mathrm{\text{H}}}^{\prime }\left(x\right)=\delta \left(x\right)$. Используя представление дельта-функции в виде распределений, функцию Хевисайда можно записать в виде предела при $\sigma \to 0$:

• $$\frac{1}{2}\left[1+erf\left(\frac{x}{\sigma }\right)\right]$$

  (1.7)

• $$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }arctg\left(\frac{x}{\sigma }\right)$$

  (1.8)

и др.

Преобразование Фурье по координатам

Прямое преобразование Фурье:

Здесь $k$ - волновой вектор, имеющий действительные компоненты $\left(k_1,k_2,...,k_D\right)$.

Обратное преобразование Фурье:

Преобразование Фурье по времени

Преобразование Фурье по времени будем рассматривать только на классе функций $f\left(t\right)$, обращающихся в нуль при $t<0$. Поэтому

Здесь $\omega$ может принимать комплексные значения. Так как нас будут интересовать среди прочих и экспоненциально растущие функции $f\left(t\right)$, преобразование Фурье существует только для $\omega$ c достаточно большой мнимой частью $Im\omega$. Например, если $f\left(t\right)={𝜃}_{\mathrm{\text{H}}}\left(t\right)e^{\gamma t}$ , то ее фурье-образ

определен только в полуплоскости $Im\omega >\gamma$. Однако, эта функция может быть естественным образом аналитически продолжена в область $Im\omega \le \gamma$.

Обратное преобразование Фурье:

где действительная постоянная $c$ выбирается таким образом, чтобы особенности подинтегральной функции $\tilde{f}\left(\omega \right)$ располагались ниже контура интегрирования. Эту формулу можно получить, используя формулу для прямого

и обратного преобразования Лапласа, полагая $\omega =ip$. Тогда контур интегрирования по $p$ в обратном преобразовании Лапласа (вертикальная прямая, располагающаяся справа от особенностей подинтегральной функции) перейдет в горизонтальную прямую, которая пройдет над особенностями. Также, формулу (1.13) можно получить, используя обычную формулу для обратного преобразования Фурье с интегрированием по действительной оси, но для функции $g\left(t\right)=f\left(t\right)e^{-ct}$.

Знаки в преобразовании Фурье выбраны таким образом, что если мы рассматриваем «одну» фурье-компоненту с фиксированным значением $\omega$

то положительная $Im\omega$ соответствует экспоненциально растущему решению. При этом

описывает волну, распространяющуюся вдоль оси $x$ с фазовой скоростью $Re\omega ∕k$.

Теорема о свертке

Сверткой двух функций $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ называется функция

Согласно теореме о свертке, фурье-образ от свертки функций равен произведению фурье-образов этих функций, т.е.